📁 Number Systems & Series 🏷ī¸ Unit Digit of Large Powers (Cyclicity Rule) ⚡ AI Daily Trick

Unit Digit Magic: Crack Large Powers in 3 Seconds!

इकाई अंक का जादू: बड़ी घातों को 3 सेकंड में हल करें!

Discover the cyclicity rule to quickly find the unit digit of any number raised to a large power. Instead of lengthy calculations, we use a simple pattern recognition method based on the unit digit of the base number, drastically cutting down computation time.
किसी भी बड़ी घात वाली संख्या के इकाई अंक को तेज़ी से ज्ञात करने के लिए चक्रीयता नियम सीखें। लंबी गणनाओं के बजाय, हम आधार संख्या के इकाई अंक पर आधारित एक सरल पैटर्न पहचान विधि का उपयोग करते हैं, जिससे गणना का समय बहुत कम हो जाता है।
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Speed Efficiency Metric:
Traditional Method: 90s (impossible to calculate directly) | Magic Trick: 5s (94% Time Saved)
⚡ 10x Faster
✨ The Magic Shortcut Formula
✨ **The Cyclicity Code (चक्र का कोड):** 1. **Identify Base Unit Digit:** Look at the unit digit of the base number (e.g., for 1237^153, the unit digit is 7). 2. **Special Cases (0, 1, 5, 6):** If the base unit digit is 0, 1, 5, or 6, the unit digit of the result will always be the same (0, 1, 5, 6 respectively), regardless of the power. (e.g., 245^78 has unit digit 5). 3. **Divide Power by 4:** For all other unit digits (2, 3, 4, 7, 8, 9), divide the *last two digits* of the power by 4. (e.g., for 7^153, divide 53 by 4). * If the power has only one digit, divide that digit by 4. * If the power is less than 4, use the power as is. * If the remainder is 0 (meaning the power is a multiple of 4), consider the effective power as 4. 4. **Use Remainder as New Power:** The unit digit of the base's unit digit raised to this remainder (or 4 if remainder is 0) will be your answer. *Example: Find unit digit of 7^23. Base unit digit is 7. Divide 23 by 4, remainder is 3. So, unit digit is 7^3 = 343 -> 3.*
✨ **चक्रीयता कोड (Cyclicity Code):** 1. **आधार का इकाई अंक पहचानें:** आधार संख्या के इकाई अंक को देखें (जैसे, 1237^153 के लिए, इकाई अंक 7 है)। 2. **विशेष स्थितियाँ (0, 1, 5, 6):** यदि आधार का इकाई अंक 0, 1, 5, या 6 है, तो परिणाम का इकाई अंक हमेशा वही रहेगा (क्रमशः 0, 1, 5, या 6), चाहे घात कुछ भी हो। (जैसे, 245^78 का इकाई अंक 5 है)। 3. **घात को 4 से विभाजित करें:** अन्य सभी इकाई अंकों (2, 3, 4, 7, 8, 9) के लिए, घात के *अंतिम दो अंकों* को 4 से विभाजित करें। (जैसे, 7^153 के लिए, 53 को 4 से भाग दें)। * यदि घात में केवल एक अंक है, तो उसी अंक को 4 से विभाजित करें। * यदि घात 4 से कम है, तो घात का सीधे उपयोग करें। * यदि शेषफल 0 है (यानी घात 4 का गुणज है), तो प्रभावी घात को 4 मानें। 4. **शेषफल को नई घात के रूप में उपयोग करें:** आधार के इकाई अंक को इस शेषफल (या 4 यदि शेषफल 0 है) की घात से प्राप्त इकाई अंक ही आपका उत्तर होगा। *उदाहरण: 7^23 का इकाई अंक ज्ञात करें। आधार का इकाई अंक 7 है। 23 को 4 से भाग दें, शेषफल 3 है। तो, इकाई अंक 7^3 = 343 -> 3 होगा।*

đŸ”ĸ Step-by-Step Mental Calculation:

1
Identify the unit digit of the base number.
2
Divide the power's last two digits by 4 (or use special rules for 0, 1, 5, 6). If the remainder is 0, use 4.
3
Raise the base's unit digit to this remainder (or 4) and find its unit digit.
1
आधार संख्या के इकाई अंक को पहचानें।
2
घात के अंतिम दो अंकों को 4 से विभाजित करें (या 0, 1, 5, 6 के लिए विशेष नियम का उपयोग करें)। यदि शेषफल 0 है, तो 4 का उपयोग करें।
3
आधार के इकाई अंक को इस शेषफल (या 4) की घात से प्राप्त इकाई अंक ज्ञात करें।
💡 Practice Demonstration:
Problem: What is the unit digit of (1237)^153?
ā¤ĒāĨā¤°ā¤ļāĨā¤¨: (1237)^153 का इकाई अंक क्या है?
⚡ Lightning Solution:
1. **Base Unit Digit:** The unit digit of 1237 is 7. 2. **Power Modulo 4:** The power is 153. Divide the last two digits (53) by 4. * 53 ÷ 4 = 13 with a remainder of 1. 3. **New Power:** The effective power for the unit digit is 1. 4. **Calculate Unit Digit:** 7^1 = 7. Therefore, the unit digit of (1237)^153 is **7**.
1. **आधार का इकाई अंक:** 1237 का इकाई अंक 7 है। 2. **घात को 4 से भाग:** घात 153 है। 153 के अंतिम दो अंक (53) को 4 से भाग दें। * 53 ÷ 4 = 13 और शेषफल 1। 3. **नई घात:** इकाई अंक के लिए प्रभावी घात 1 है। 4. **इकाई अंक की गणना:** 7^1 = 7। अतः, (1237)^153 का इकाई अंक **7** है।
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Exam Trap Alert & Common Calculation Pitfalls

⚠️ **Exam Trap:** Don't forget the 'remainder 0' rule! If the power is a multiple of 4 (remainder is 0), you must use 4 as the effective power, not 0. For example, for 2^4, the unit digit is 6. If you used 2^0, you'd get 1, which is incorrect. Also, remember to only consider the last two digits of the power for division by 4, not the entire power if it's very large.

⚠️ **परीक्षा ट्रैप:** 'शेषफल 0' नियम को न भूलें! यदि घात 4 का गुणज है (शेषफल 0 आता है), तो आपको प्रभावी घात के रूप में 4 का उपयोग करना चाहिए, न कि 0 का। उदाहरण के लिए, 2^4 का इकाई अंक 6 है। यदि आप 2^0 का उपयोग करते, तो आपको 1 मिलता, जो गलत है। साथ ही, 4 से भाग देने के लिए घात के केवल अंतिम दो अंकों पर विचार करना याद रखें, न कि पूरी घात पर यदि वह बहुत बड़ी है।

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Rapid Recall Micro-Quiz

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What is the unit digit of (284)^92 + (319)^101 - (175)^30?

(284)^92 + (319)^101 - (175)^30 का इकाई अंक क्या है?

Explanation:

Let's find the unit digit for each term: 1. **For (284)^92:** * Unit digit of base is 4. * Power is 92 (even). For 4^even, the unit digit is 6. (Alternatively, 92 ÷ 4 = 23, remainder 0. So, 4^4 = 256, unit digit is 6). 2. **For (319)^101:** * Unit digit of base is 9. * Power is 101 (odd). For 9^odd, the unit digit is 9. (Alternatively, 101 ÷ 4 = 25, remainder 1. So, 9^1 = 9). 3. **For (175)^30:** * Unit digit of base is 5. * For any power of a number ending in 5, the unit digit is always 5. Now, combine the unit digits: * Unit digit of (284)^92 is 6. * Unit digit of (319)^101 is 9. * Unit digit of (175)^30 is 5. Resulting unit digit = Unit digit of (6 + 9 - 5) = Unit digit of (15 - 5) = Unit digit of (10) = **0**. The final unit digit is 0.

प्रत्येक पद के लिए इकाई अंक ज्ञात करें: 1. ** (284)^92 के लिए:** * आधार का इकाई अंक 4 है। * घात 92 (सम) है। 4 की सम घात के लिए, इकाई अंक 6 होता है। (वैकल्पिक रूप से, 92 ÷ 4 = 23, शेषफल 0। तो, 4^4 = 256, इकाई अंक 6 है)। 2. ** (319)^101 के लिए:** * आधार का इकाई अंक 9 है। * घात 101 (विषम) है। 9 की विषम घात के लिए, इकाई अंक 9 होता है। (वैकल्पिक रूप से, 101 ÷ 4 = 25, शेषफल 1। तो, 9^1 = 9)। 3. ** (175)^30 के लिए:** * आधार का इकाई अंक 5 है। * 5 पर समाप्त होने वाली संख्या की किसी भी घात के लिए, इकाई अंक हमेशा 5 होता है। अब, इकाई अंकों को मिलाएं: * (284)^92 का इकाई अंक 6 है। * (319)^101 का इकाई अंक 9 है। * (175)^30 का इकाई अंक 5 है। परिणामी इकाई अंक = (6 + 9 - 5) का इकाई अंक = (15 - 5) का इकाई अंक = (10) का इकाई अंक = **0**। अंतिम इकाई अंक 0 है।

đŸŽ¯ Target Exams: SSC CGL, CHSL, MTS, CPO, Banking PO/Clerk, Railways RRB, CAT, CDS, CSAT, State PSC

⚡ Capsule Overview

  • Category: Number Systems & Series
  • Focus Topic: Unit Digit of Large Powers (Cyclicity Rule)
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